Le Leggi di Kirchhoff: teoria, formule ed esercizi svolti
Introduzione
Le Leggi di Kirchhoff costituiscono uno dei pilastri dell’elettrotecnica e dell’analisi dei circuiti elettrici. Insieme alla Legge di Ohm permettono di determinare correnti e tensioni anche in reti elettriche complesse, dove non è possibile ricorrere a semplici riduzioni di resistenze.
In questa guida analizzeremo le due leggi fondamentali formulate dal fisico tedesco Gustav Kirchhoff, ne comprenderemo il significato fisico e vedremo come applicarle attraverso esempi pratici con circuiti a una e più maglie..
Chi era Gustav Kirchhoff
Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) è stato un fisico tedesco che ha dato contributi fondamentali all’elettrotecnica e all’elettromagnetismo. Le due leggi che portano il suo nome rappresentano ancora oggi la base dell’analisi circuitale e vengono studiate in tutti i corsi di elettrotecnica, elettronica e ingegneria.
La prima Legge – Legge dei Nodi
La prima legge di kirchhoff è detta legge dei nodi. Afferma che “La somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti“.
Questa legge deriva direttamente dal principio di conservazione della carica elettrica. In un nodo non può verificarsi un accumulo permanente di cariche elettriche: tutta la corrente che entra deve necessariamente uscire.
Per questo motivo la somma algebrica delle correnti risulta sempre nulla (Fig.1)
∑ I entranti=∑ I uscenti
La seconda Legge – Legge delle Maglie
La seconda Legge di Kirchhoff è detta la legge delle maglie. Afferma che la somma algebrica delle f.e.m e delle d.d.p di ogni singola resistenza è uguale a zero.
La seconda legge è una conseguenza del principio di conservazione dell’energia. Durante un percorso chiuso l’energia fornita dai generatori viene interamente assorbita dagli elementi del circuito, principalmente dalle resistenze. Per questo motivo la somma algebrica di tutte le tensioni lungo una maglia è pari a zero.
La legge è riferita ad ogni maglia un circuito chiuso. Assegnato in modo convenzionale il verso di i, notiamo come le cadute di tensione ai capi delle R hanno verso opposto. L’equazione scritta, dopo aver assegnato un verso di percorrenza arbitrario, ci dice come la f.e.m E sia uguale alla somma delle d.d.p ai capi di R1 e R2 (Fig.2).
E−R1I−R2I=0
Come si applicano le Leggi di Kirchhoff?
Per risolvere un circuito elettrico conviene seguire sempre questi passaggi:
- individuare i nodi e le maglie;
- assegnare arbitrariamente il verso delle correnti;
- applicare la Legge dei Nodi;
- scrivere una equazione per ogni maglia;
- risolvere il sistema di equazioni;
- interpretare il segno delle correnti ottenute.
Esempio pratico: Circuito a 2 Maglie
Se consideriamo un circuito con due maglie possiamo integrare le due leggi. Possiamo dunque scrivere l’equazione al nodo A per le correnti, e l’equazioni per le due maglie (Fig.3).
Cosa significa ottenere una corrente negativa?
Nell’immagine successiva (Fig.4), è stato ulteriormente introdotto un generatore di tensione E2. Il processo non cambia ma è necessario notare che la corrente nella maglia 2 è stata posta circolante con verso opposto.
Non significa che il calcolo sia errato, ma semplicemente che il verso reale della corrente è opposto a quello scelto inizialmente.
Questo significa che la convenzione adottata nelle due maglie è sempre oraria, ma nei successivi calcoli potremmo ritrovarci la i2 con segno –, infatti:
Esercizio 1
Facendo riferimento alla Fig.4, inseriamo dei valori ai due generatori di tensione e alle tre resistenze e risolviamo il circuito. Ovviamente le incognite sono le tre correnti circolanti sui rami omonimi: E1=11 V; E2=7 V; dove: R1=2Ω; R2=1Ω; R3=1Ω. i1; i2; i3? (Soluzione)
Esercizio 2
Potrebbe sembrare macchinoso il procedimento ma successivamente vedremo che, applicando altri teoremi per la risoluzione, quello appena esposto rappresenta un ottimo metodo di controllo. Facciamo un altro esempio con il circuito in Fig.5 e, con i dati evidenziati, calcoliamo le correnti i1,i2 e i3.
La struttura in parallelo tra il nodo A e B potrebbe indurci a non identificare bene le maglie, pertanto ricostruiamo il circuito come nella Fig.6 per una migliore lettura. (Soluzione)
Errori da evitare
- confondere nodo e maglia;
- cambiare il verso delle correnti durante i calcoli;
- assegnare segni errati alle cadute di tensione;
- dimenticare la convenzione scelta;
- utilizzare contemporaneamente convenzioni diverse.
Dove si utilizzano le Leggi di Kirchhoff?
Le Leggi di Kirchhoff vengono utilizzate in numerosi ambiti:
- progettazione di impianti elettrici;
- circuiti elettronici analogici;
- alimentatori;
- automazione industriale;
- reti di distribuzione elettrica;
- simulazioni SPICE;
- progettazione di schede elettroniche.
Conclusione
Le Leggi di Kirchhoff rappresentano uno degli strumenti fondamentali dell’analisi circuitale. Sebbene nei primi esercizi possano sembrare laboriose, consentono di affrontare con metodo qualsiasi rete elettrica, indipendentemente dalla sua complessità.
Una volta assimilate, diventano inoltre un valido strumento di verifica dei risultati ottenuti mediante altri teoremi, come il principio di sovrapposizione degli effetti, i teoremi di Thévenin e Norton o il metodo delle correnti di maglia.
Nel prossimo articolo risolveremo lo stesso circuito applicando il Principio di Sovrapposizione degli Effetti.
Approfondimenti:
- Grandezze elettriche fondamentali.
- Legge di Ohm.
- Resistori in serie e in parallelo.
- Partitore di tensione.
- Leggi di Kirchhoff.
- Principio di Sovrapposizione degli Effetti.
- Teorema di Thévenin.
- Teorema di Norton.
- Trasformazione stella-triangolo.
- Metodo delle correnti di maglia e dei potenziali di nodo.
FAQ
Ti consiglio di aggiungere almeno queste sei.
Qual è la prima Legge di Kirchhoff?
È la Legge dei Nodi e afferma che la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti.
Qual è la seconda Legge di Kirchhoff?
È la Legge delle Maglie e stabilisce che la somma algebrica delle tensioni lungo una maglia chiusa è uguale a zero.
Quando si usano le Leggi di Kirchhoff?
Ogni volta che un circuito presenta più rami o più maglie e non può essere risolto con la sola Legge di Ohm.
Cosa rappresenta un nodo?
È il punto del circuito in cui confluiscono almeno tre rami elettrici.
Cosa rappresenta una maglia?
Una maglia è un percorso chiuso del circuito in cui è possibile applicare la seconda Legge di Kirchhoff.
Classe 1964. Laureato in Ingegneria Informatica e Biomedica
